İkili lojistik regresyon: SPSS'te nasıl yapılır ve nasıl yorumlanır?

İkili lojistik regresyon ne zaman kullanılır?

İkili (binary) lojistik regresyon, iki kategorili bir sonucu bir ya da daha çok yordayıcıyla açıklar: dersten geçti ya da kaldı, işe alındı ya da alınmadı gibi. Yordayıcılar sürekli (çalışma saati) ya da kategorik (devam durumu) olabilir. Model her kişi için sonucun gerçekleşme olasılığını tahmin eder ve her yordayıcının etkisini bir odds oranıyla (SPSS'te Exp(B)) verir.

Şu üç koşul birlikte sağlanıyorsa doğru analizdir:

1. Bağımlı değişken iki kategorili.
2. Bir ya da daha çok yordayıcın var ve etkilerini birlikte, birbirinin etkisi sabit tutularak görmek istiyorsun.
3. Her kişi veride bir kez yer alıyor.

Senin durumun farklıysa:

• Sonuç sürekli bir puansa (sınav notu, ölçek puanı): doğrusal regresyon. Regresyon analizi rehberine bak.
• Yalnız iki kategorik değişkenin ilişkisini soruyorsan (ör. cinsiyet ile dersten geçme) ve başka yordayıcı yoksa: ki-kare testi yeterli.
• Sonucun üç ya da daha fazla kategorisi varsa: kategoriler sırasızsa çok kategorili (multinomial) lojistik regresyon, Analyze → Regression → Multinomial Logistic; sıralıysa Analyze → Regression → Ordinal. İkisi de bu rehberin kapsamı dışında.

Emin değilsen hangi istatistiksel test rehberindeki karar tablosuna bak.

Odds ve logit

0/1 kodlu bir sonuca doğrusal regresyon uygularsan model bazı kişiler için 0'ın altında ya da 1'in üstünde "olasılıklar" tahmin eder. Lojistik regresyon bu yüzden olasılığı logit üzerinden modeller:

• Odds = p / (1 − p). Geçme olasılığı ,75 olan bir öğrencinin geçme odds'u ,75 / ,25 = 3'tür: geçme olasılığı kalma olasılığının üç katı. Olasılık ,50 ise odds 1'dir.
• Logit = ln(odds) = B₀ + B₁X₁ + B₂X₂ + …

Logitten geri hesaplanan olasılık, p = 1 / (1 + e^(−logit)), her zaman 0 ile 1 arasında kalır. SPSS'in B sütunu logit ölçeğindeki katsayıdır; Exp(B) onun odds ölçeğindeki karşılığı, yani odds oranıdır.

Hipotezler

• Model bir bütün olarak: H₀: Bütün yordayıcıların katsayıları sıfırdır; model, yalnız sabit içeren modelden daha iyi tahmin yapmaz. H₁: En az bir katsayı sıfırdan farklıdır (Omnibus Tests tablosu).
• Her yordayıcı için: H₀: B = 0, yani Exp(B) = 1: yordayıcı, diğerleri sabitken sonucun odds'unu değiştirmez. H₁: B ≠ 0 (Wald testi).
• Model uyumu: H₀: Tahmin edilen ve gözlenen frekanslar uyumludur. Hosmer-Lemeshow testinde mantık ters işler: bu testin anlamlı çıkmaması istenir.

Varsayımlar

1. İki kategorili bağımlı değişken. 0/1 kodla ve 1'i ilgilendiğin sonuca ver (burada Geçti).
2. Bağımsız gözlemler. Her kişi veride bir kez yer alır. Tekrarlanan ölçümler ya da aynı sınıftaki öğrencilerin birbirine benzemesi karma modeller gerektirir; bu rehberin kapsamı dışında.
3. Sürekli yordayıcılarda logit ile doğrusal ilişki. Varsayılan, sürekli yordayıcının sonucun logit'iyle doğrusal ilişkili olmasıdır. Box-Tidwell yaklaşımıyla sınanır (Box ve Tidwell, 1962; Field, 2018): her sürekli yordayıcı için değişken × ln(değişken) çarpım terimini modele ekle; terim anlamlıysa (p < ,05) doğrusallık sorunludur. SPSS'te Transform → Compute Variable ile ln_calisma = LN(calisma) gibi değişkenler oluştur, sonra Binary Logistic penceresinde değişkeni ve logaritmasını birlikte seçip >a*b> düğmesine bas. LN, 0 ve eksi değerlerde tanımsızdır; değişkende 0 varsa önce bütün değerlere aynı sabiti ekle. Örnekte iki çarpım terimi de anlamlı değil (çalışma saati için p = ,299; kaygı için p = ,603).
4. Yüksek çoklu doğrusal bağlantı olmaması. Binary Logistic VIF vermez. Aynı yordayıcılarla Analyze → Regression → Linear analizi kur ve Statistics altında Collinearity diagnostics kutusunu işaretle; VIF yalnız yordayıcılardan hesaplandığı için bağımlı değişken olarak sonuc değişkenini koyabilirsin. Kategorik yordayıcıyı bu analize kukla (0/1) değişkenlerle gir, ör. COMPUTE devam_duz = (devam = 3). Field (2018), en büyük VIF'in 10'u aşmasını endişe nedeni sayar. Örnekte VIF değerleri 1,06 ile 1,98 arasında.
5. Yeterli örneklem. Peduzzi vd. (1996), her tahmin edilen parametre için sonucun daha seyrek kategorisinde en az 10 olay olmasını önerir (EPV ≥ 10). Kategorik bir yordayıcı, kategori sayısının bir eksiği kadar parametre sayılır. Örnekte 4 parametre ve 122 kalan öğrenci var: 122 / 4 = 30,5.

Normallik ve varyans homojenliği gerekmez.

SPSS'te adım adım

Temsili veri. Bir araştırmacı, istatistik dersini alan 280 öğrencinin final sınavından geçip geçmediğini yordamak istiyor. Değişkenler: sonuc (0 = Kaldı, 1 = Geçti), calisma (haftalık çalışma saati), kaygi (sınav kaygısı ölçeğinin toplam puanı, 20–80 arası; yüksek puan daha çok kaygı) ve devam (derslere devam: 1 = Nadiren, 2 = Ara sıra, 3 = Düzenli). Dört öğrencinin bir değeri eksik.

1. Menüden Analyze → Regression → Binary Logistic yolunu aç.
2. sonuc değişkenini Dependent kutusuna; calisma, kaygi ve devam değişkenlerini Covariates kutusuna taşı. Method seçeneğini Enter bırak: bütün yordayıcılar modele birlikte girer. Forward ve Backward gibi adımsal yöntemler yordayıcıları veriye bakarak seçer; kuramdan gelen bir modeli sınarken önerilmez (Field, 2018).
3. Categorical düğmesine bas ve devam değişkenini Categorical Covariates kutusuna taşı. Contrast seçeneği Indicator kalsın. Reference Category olarak First seç ve Change düğmesine bas; listede değişkenin yanında (Indicator(first)) görünmeli. Continue de.
4. Options düğmesine bas. Statistics and Plots altında Hosmer-Lemeshow goodness-of-fit ve CI for exp(B) kutularını işaretle (95). Classification cutoff (0,5) ve Maximum Iterations (20) varsayılanda kalsın. Continue de.
5. OK de. Sözdizimini saklamak istersen Paste de.

LOGISTIC REGRESSION VARIABLES sonuc
  /METHOD=ENTER calisma kaygi devam
  /CONTRAST (devam)=Indicator(1)
  /PRINT=GOODFIT CI(95)
  /CRITERIA=PIN(0.05) POUT(0.10) ITERATE(20) CUT(0.5).

Indicator(1) referansın birinci kategori olduğunu söyler; Last seçseydin yalnız Indicator yazardı. PIN ve POUT yalnız adımsal yöntemlerde kullanılır.

Referans kategori nedir? SPSS kategorik bir yordayıcıyı kukla değişkenlere çevirir: üç kategori için iki kukla. Kuklası olmayan kategori referans kategoridir ve diğerlerinin her biri ona göre karşılaştırılır. Last (varsayılan) en yüksek kodlu, First en düşük kodlu kategoriyi referans yapar. Burada Nadiren referans; karşılaştırması anlamlı ve yeterince kişi içeren bir grup seç.

Çıktı nasıl okunur?

Çıktı üç bölümden oluşur: ön bilgiler, Block 0 (yalnız sabit içeren model) ve Block 1 (yordayıcıların eklendiği model). Kararlarını Block 1'e göre verirsin.

Case Processing Summary

Herhangi bir değişkeninde eksik değeri olan kişi analize girmez. Analiz 276 öğrenciyle yapıldı; raporda bu N'yi yazarsın.

Dependent Variable Encoding

SPSS her zaman iç değeri (Internal Value) 1 olan kategorinin olasılığını modeller: burada Geçti. Bütün B ve Exp(B) değerleri "geçme" yönünde okunur. Sonucu 1 ve 2 diye kodladıysan SPSS küçük kodu 0'a, büyük kodu 1'e çevirir; 1 = Geçti, 2 = Kaldı kodlamasında model kalmayı tahmin eder ve yorumun tersine döner. Yoruma başlamadan bu tabloya bak.

Categorical Variables Codings

Nadiren iki sütunda da 0: referans kategori bu. Sonraki tablolardaki devam(1) satırı Ara sıra ile Nadiren'in, devam(2) satırı Düzenli ile Nadiren'in karşılaştırmasıdır. Referansı doğru seçip seçmediğini bu tablodan kontrol edersin.

Block 0: Beginning Block

Block 0, yalnız sabitten oluşan modeldir; yordayıcılı modeli karşılaştıracağın başlangıç noktasıdır.

Yordayıcı olmadan model herkesi kalabalık kategoriye, Geçti'ye atar ve %55,8 doğru sınıflandırır. Sabitin Exp(B) değeri, geçenlerin kalanlara oranıdır: 154 / 122 = 1,262. Bu satırı ve altındaki Variables not in the Equation tablosunu (her yordayıcının tek başına eklense anlamlı olup olmayacağını gösteren score testleri) raporlaman gerekmez.

Omnibus Tests of Model Coefficients

Model satırı, yordayıcılı modeli yalnız sabit içeren modelle karşılaştıran olabilirlik oranı (likelihood ratio) testidir. df, eklenen parametre sayısıdır: çalışma, kaygı ve devam için iki kukla, toplam 4. p < ,001: yordayıcılar birlikte, sınavdan geçmeyi sabit modelden anlamlı düzeyde daha iyi tahmin ediyor.

Üç satır aynı, çünkü bütün yordayıcılar tek blokta Enter ile girdi. Block satırı bir önceki blokla, Step satırı bir önceki adımla karşılaştırır. Yordayıcıları bloklar halinde girersen (Next düğmesi) Block satırı yalnız o blokta eklenenleri sınar: devam ikinci blokta girseydi Block satırı χ²(2) = 12,10, p = ,002 verirdi.

Model Summary

a. Estimation terminated at iteration number 5 because parameter estimates changed by less than ,001.

• −2 Log likelihood (−2LL): modelin uyumsuzluğunun ölçüsü; küçük olması iyidir ve iki modeli karşılaştırırken kullanılır. Sabit modelin −2LL değeri 378,899'dur (Options altında Iteration history işaretlersen görünür); fark, 378,899 − 299,047 = 79,852, Omnibus χ² değeridir.
• Cox & Snell ve Nagelkerke R Square: sözde R² (pseudo R²) değerleri. Cox ve Snell'in (1989) ölçüsü 1'e ulaşamaz; Nagelkerke (1991) onu alabileceği en büyük değere bölerek 0–1 aralığına taşır. Çoğu çalışma Nagelkerke R²'yi raporlar.
• Dipnot: tahminin kaçıncı yinelemede bulunduğunu söyler. Tahmin en fazla yineleme sayısına (20) ulaştığı için durduysa bir sorun var demektir (aşağıda tam ayrışma).

Sözde R², doğrusal regresyondaki anlamıyla "açıklanan varyans" değildir; modelin sabit modele göre ne kadar iyileştiğine dair kaba bir göstergedir. Raporda "Nagelkerke R² = ,34" yaz, "varyansın %34'ünü açıkladı" deme.

Hosmer and Lemeshow Test

Hosmer-Lemeshow testi (Hosmer ve Lemeshow, 1980), tahmin edilen olasılıkların gözlenen sonuçlarla uyuşup uyuşmadığını sınar. Anlamlı çıkmaması iyidir. Burada p = ,802: uyumsuzluk işareti yok.

SPSS kişileri tahmin edilen olasılığa göre sıralayıp yaklaşık on gruba ayırır ve her grupta gözlenen sayıları, tahmin edilen olasılıkların toplamı olan beklenen sayılarla karşılaştırır. Yordayıcı değerleri tamamen aynı olan kişileri aynı grupta tutar; bu yüzden gruplar eşit olmayabilir ve grup sayısı ondan az çıkabilir (IBM Corp., 2022). df = grup sayısı − 2 = 8. Gruplar Contingency Table for Hosmer and Lemeshow Test tablosundadır:

Birinci grupta tahmin edilen geçme olasılığı en düşük, onuncu grupta en yüksek öğrenciler var. Gözlenen ve beklenen sayılar her grupta birbirine yakın.

Testin sınırlılıkları. Büyük örneklemlerde test, pratikte önemsiz sapmaları da anlamlı bulur; Paul vd. (2013) bu yüzden binlerce kişilik veri setlerinde grup sayısının örneklem büyüklüğüne göre ayarlanmasını önerir. Küçük örneklemlerde ise gücü düşüktür: anlamlı çıkmaması modelin iyi olduğunu kanıtlamaz. Sonuç grupların nasıl kurulduğuna da bağlıdır; farklı programlar aynı modelde farklı χ² verebilir (Hosmer vd., 1997). Testi tek ölçüt yapma.

Classification Table

a. The cut value is ,500

SPSS, tahmin edilen geçme olasılığı ,50 ya da daha yüksek olan öğrenciyi "Geçti", diğerlerini "Kaldı" olarak sınıflandırır ve gerçek sonuçla karşılaştırır.

• Genel doğruluk (Overall Percentage): (84 + 120) / 276 = %73,9. Block 0'daki %55,8'den belirgin biçimde yüksek.
• Duyarlılık (sensitivity): gerçekten geçenlerin ne kadarını model doğru tanıdı? 120 / 154 = %77,9 (Geçti satırı).
• Özgüllük (specificity): gerçekten kalanların ne kadarını model doğru tanıdı? 84 / 122 = %68,9 (Kaldı satırı).

Kesme değerini (Classification cutoff) değiştirirsen biri artarken öteki azalır. Seyrek bir sonuçta (ör. %10) ,50 kesme değeri neredeyse herkesi çoğunluk kategorisine atar: genel doğruluk yüksek, duyarlılık çok düşük çıkar. Bu yüzden iki satırı ayrı ayrı oku.

Variables in the Equation

a. Variable(s) entered on step 1: calisma, kaygi, devam.

SPSS güven aralığının alt ve üst sınırını ayrı sütunlarda (Lower, Upper) verir; burada tek sütunda gösterdik.

• B: logit ölçeğindeki katsayı. Pozitifse yordayıcı arttıkça geçme olasılığı artar, negatifse azalır. Büyüklüğünü Exp(B) üzerinden yorumlarsın.
• Wald: (B / S.E.)², ki-kare dağılımıyla değerlendirilir. Sig. onun p değeridir.
• devam satırı: B'si yok; iki kuklayı birlikte sınar (df = 2). Devam durumu bir bütün olarak anlamlı (p = ,003). Kukla satırları tek tek karşılaştırmalardır: Düzenli ile Nadiren arasındaki fark anlamlı (p = ,001), Ara sıra ile Nadiren arasındaki fark değil (p = ,174).
• 95% C.I. for EXP(B): aralık 1'i içeriyorsa yordayıcı ,05 düzeyinde anlamlı değildir.
• Constant: bütün sürekli yordayıcılar 0 ve devam Nadiren iken logit. Kaygı puanı 0 olamayacağı için yorumlanmaz.

Wald testine dair bir uyarı. B çok büyük olduğunda standart hata şişer ve Wald değeri küçülür; test gerçek bir etkiyi kaçırabilir (Hauck ve Donner, 1977). Böyle bir durumda değişkeni ayrı bir blokta girip Omnibus tablosundaki Block satırını, yani olabilirlik oranı testini kullan. Örnekte ikisi benzer: devam için Wald = 11,62, olabilirlik oranı χ²(2) = 12,10.

Exp(B) nasıl yorumlanır: odds oranı

Exp(B), yordayıcı bir birim arttığında sonucun odds'unun kaç katına çıktığını gösterir; diğer yordayıcılar sabit tutulur. Exp(B) > 1 ise odds (Exp(B) − 1) × 100 yüzde artar; Exp(B) < 1 ise (1 − Exp(B)) × 100 yüzde azalır; Exp(B) = 1 ise etki yoktur.

Sürekli yordayıcılar: bir birimlik artış.

• Çalışma saati: Exp(B) = 1,272. Haftada bir saat daha fazla çalışmak, kaygı ve devam sabitken geçme odds'unu 1,27 katına çıkarıyor, yani yaklaşık %27 artırıyor; %95 GA [1,17; 1,39].
• Sınav kaygısı: Exp(B) = 0,948. Her bir puanlık artış geçme odds'unu yaklaşık %5 azaltıyor; %95 GA [0,92; 0,98].

"Bir birim", değişkenin ölçüldüğü birimdir. Kaygı puanı 20–80 arasında değiştiği için bir puan küçük bir farktır ve Exp(B) 1'e yakın görünür. Daha anlaşılır bir birim için B'yi o birimle çarpıp üssünü al: 10 puan için e^(10 × B) = 0,586, %95 GA [0,44; 0,78]. Kaygısı 10 puan yüksek bir öğrencinin geçme odds'u yaklaşık %41 daha düşük. Exp(B)'nin kendisini 10 ile çarpmak yanlıştır.

Kategorik yordayıcılar: referans kategoriye göre.

• devam(2), Düzenli ile Nadiren: Exp(B) = 3,536. Derslere düzenli devam eden bir öğrencinin geçme odds'u, çalışma saati ve kaygı puanı aynı olan ama nadiren devam eden bir öğrencininkinin yaklaşık 3,5 katı; %95 GA [1,63; 7,65].
• devam(1), Ara sıra ile Nadiren: Exp(B) = 1,712, ama güven aralığı [0,79; 3,72] 1'i içeriyor: anlamlı bir fark yok.

Ham veride bu oran daha büyük: düzenli devam edenlerin geçme odds'u 81 / 37 = 2,19, nadiren devam edenlerinki 17 / 33 = 0,52, oranı 4,25. Düzenli devam edenler biraz daha çok çalışıyor ve daha az kaygılı; model bu farkları hesaba kattığı için 3,54 veriyor. Ara sıra ile Düzenli'yi karşılaştırmak istersen referansı değiştirip modeli yeniden çalıştır.

En sık hata: odds'u olasılık sanmak

Exp(B) = 1,27 "geçme olasılığı %27 artıyor" demek değildir. Odds oranı odds'u çarpar; olasılıktaki değişim başlangıç düzeyine bağlıdır. Bir saat daha fazla çalışmanın etkisi:

Odds oranı her satırda 1,27, ama olasılıktaki artış 2 ile 6 yüzde puanı arasında değişiyor. Raporda "odds'u %27 artırdı" yaz, "olasılığını %27 artırdı" yazma.

Tahmin edilen olasılık. Denklem B sütunundan kurulur: logit = 0,071 + 0,241 × çalışma − 0,053 × kaygı + 0,538 × (Ara sıra) + 1,263 × (Düzenli). Haftada 10 saat çalışan, kaygı puanı 48 olan ve ara sıra devam eden bir öğrenci için logit = 0,071 + 2,410 − 2,544 + 0,538 = 0,475; odds = e^0,475 ≈ 1,61; olasılık = 1,61 / 2,61 ≈ ,62. SPSS yuvarlanmamış katsayılarla ,61 hesaplar; Save penceresinde Probabilities kutusunu işaretlersen her öğrencinin olasılığını veri dosyasına kaydeder.

Raporlama (APA)

Haftalık çalışma saati, sınav kaygısı ve derslere devamın final sınavından geçmeyi yordayıp yordamadığını incelemek için ikili lojistik regresyon analizi yapıldı. Model, yalnız sabit içeren modele göre anlamlı düzeyde daha iyi tahmin yaptı, χ²(4, N = 276) = 79,85, p < ,001, Nagelkerke R² = ,34, ve öğrencilerin %73,9'unu doğru sınıflandırdı (duyarlılık %77,9, özgüllük %68,9). Hosmer-Lemeshow testi uyumsuzluğa işaret etmedi, χ²(8) = 4,58, p = ,802. Çalışma saatindeki her bir saatlik artış geçme odds'unu artırdı, OR = 1,27, %95 GA [1,17; 1,39], p < ,001; kaygı puanındaki her bir puanlık artış ise azalttı, OR = 0,95, %95 GA [0,92; 0,98], p < ,001. Derslere düzenli devam eden öğrencilerin geçme odds'u nadiren devam edenlerinkinin 3,54 katıydı, %95 GA [1,63; 7,65], p = ,001; ara sıra devam edenlerle nadiren devam edenler arasında anlamlı bir fark bulunmadı, OR = 1,71, %95 GA [0,79; 3,72], p = ,174.

SH standart hata, OR odds oranı (Exp(B)), GA güven aralığı demek. Wald testinin sd'si devam satırında 2, diğerlerinde 1'dir. Wald, OR ve GA değerleri SPSS'in tam değerlerinden iki basamağa yuvarlandı; bu yüzden Düzenli satırının Wald değeri, SPSS tablosunda 10,285 görünse de tam değeri 10,28496 olduğu için 10,28 yazıldı. Tam değeri görmek için SPSS'te tabloya, sonra hücreye çift tıkla. Tablo notuna model bilgisini ekle: N = 276; χ²(4) = 79,85, p < ,001; Nagelkerke R² = ,34.

Varsayım sağlanmazsa ya da sonuç anlamlı çıkmazsa

• Logit doğrusallığı bozuluyorsa: değişkeni dönüştürmeyi (ör. logaritmasını almayı) ya da kuramsal olarak anlamlı aralıklara bölmeyi düşün. Bölmek bilgi kaybettirir; sınırları sonuca bakarak seçme.
• VIF yüksekse: birbirinin neredeyse aynısı olan yordayıcılardan birini çıkar ya da ikisini tek puanda birleştir.
• Olay sayısı yetersizse: yordayıcı sayısını azalt ya da seyrek kategorileri anlamca birleştir.
• Tam ayrışma (complete separation): bir yordayıcı ya da kategori sonucu kusursuz ayırıyorsa (ör. bir gruptaki herkes geçmişse) katsayı tahmin edilemez: B ve S.E. aşırı büyür, tahmin en fazla yineleme sayısında durur. O kategoriyi anlamca yakın bir kategoriyle birleştir.
• Hosmer-Lemeshow anlamlıysa: gözlenen ve beklenen sayıların hangi gruplarda ayrıldığına bak; eksik bir etkileşim ya da doğrusal olmayan bir ilişki olabilir.
• Model ya da bir yordayıcı anlamlı değilse: "etkisi yok" deme, "anlamlı bir ilişki bulunmadı" de ve OR ile güven aralığını yine raporla. Sonucu anlamlı yapmak için yordayıcı çıkarıp ekleme ya da kesme değeriyle oynama.

Sık yapılan hatalar

• Exp(B)'yi olasılıktaki artış diye yorumlamak. Exp(B) = 1,27, odds'un 1,27 katına çıkması demektir.
• Dependent Variable Encoding tablosuna bakmamak. 1/2 kodlamada SPSS büyük kodu modeller.
• Kategorik yordayıcıyı Categorical düğmesiyle tanıtmamak. O zaman 1, 2, 3 kodları sürekli bir puan gibi okunur ve model her kategori adımının aynı etkiyi yaptığını varsayar.
• Reference Category'yi seçip Change düğmesine basmamak. Seçim uygulanmaz, referans Last kalır.
• Hosmer-Lemeshow testinin anlamlı çıkmasını iyi sanmak. Bu testte p > ,05 istenir.
• Nagelkerke R²'yi "açıklanan varyans" diye raporlamak.
• Raporda "p = ,000" yazmak. Doğrusu p < ,001.

Kaynaklar

• Box, G. E. P. ve Tidwell, P. W. (1962). Transformation of the independent variables. Technometrics, 4(4), 531–550. https://doi.org/10.1080/00401706.1962.10490038
• Cox, D. R. ve Snell, E. J. (1989). Analysis of binary data (2. baskı). Chapman and Hall.
• Field, A. (2018). Discovering statistics using IBM SPSS Statistics (5. baskı). SAGE.
• Hauck, W. W. ve Donner, A. (1977). Wald's test as applied to hypotheses in logit analysis. Journal of the American Statistical Association, 72(360), 851–853. https://doi.org/10.1080/01621459.1977.10479969
• Hosmer, D. W., Hosmer, T., le Cessie, S. ve Lemeshow, S. (1997). A comparison of goodness-of-fit tests for the logistic regression model. Statistics in Medicine, 16(9), 965–980. https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0258(19970515)16:9%3C965::AID-SIM509%3E3.0.CO;2-O
• Hosmer, D. W. ve Lemeshow, S. (1980). Goodness of fit tests for the multiple logistic regression model. Communications in Statistics - Theory and Methods, 9(10), 1043–1069. https://doi.org/10.1080/03610928008827941
• IBM Corp. (2022). IBM SPSS Statistics algorithms (sürüm 29). https://www.ibm.com/docs/en/SSLVMB_29.0.0/pdf/IBM_SPSS_Statistics_Algorithms.pdf
• Nagelkerke, N. J. D. (1991). A note on a general definition of the coefficient of determination. Biometrika, 78(3), 691–692. https://doi.org/10.1093/biomet/78.3.691
• Paul, P., Pennell, M. L. ve Lemeshow, S. (2013). Standardizing the power of the Hosmer-Lemeshow goodness of fit test in large data sets. Statistics in Medicine, 32(1), 67–80. https://doi.org/10.1002/sim.5525
• Peduzzi, P., Concato, J., Kemper, E., Holford, T. R. ve Feinstein, A. R. (1996). A simulation study of the number of events per variable in logistic regression analysis. Journal of Clinical Epidemiology, 49(12), 1373–1379. https://doi.org/10.1016/S0895-4356(96)00236-3